OSSERVAZIONE
- Se f(x) è periodica di periodo T allora f(kx) è periodica di periodo T/| k|
- Se f(x) e g(x) sono funzioni periodiche di periodo T allora le funzioni f(x)±g(x), f(x)·g(x), f(x)/g(x) hanno periodo minore o uguale a T
- Se si hanno due funzioni periodiche con diverso periodo T1 e T2 allora, se esistono multipli interi comuni, i periodi delle funzioni f(x)±g(x), f(x)·g(x), f(x)/g(x) sono dati dal minimo comune multiplo dei singoli periodi.
Esempio 1
Determinare il periodo della funzione f(x)=sen(x)+cos(x)
Sia lo funzione seno che la funzione coseno sono periodiche di periodo 2
. In base o quanto affermato nell’osservazione, poiché esistono multipli interi comuni, la funzione f(x) ha periodo 2.
Esempio 2
Determinare il periodo della funzione f(x)=sen(x)·cos(x)
Sia la funzione seno che la funzione coseno sono periodiche di periodo 2. In base a quanto affermato nell’osservazione la funzione f(x) ha periodo minore o uguale a 2. Infatti sen(x)·cos(x) = (l/2)sen(2x) che ha periodo 2/2 = .
Esempio 3
Determinare il periodo della funzione f(x)=sen(3x)
Lo funzione seno è periodico di periodo 2. In base a quanto affermato nell’osservazione la funzione f(x) ha periodo 2/3
Esempio 4
Determinare il periodo della funzione f(x)=cotg(10x)
La funzione cotangente è periodica di periodo . In base a quanto affermato nell’osservazione la funzione f(x)
ha periodo /10
Esempio 5
Determinare il periodo della funzione f(x)=sen(4x)+cos(3x)
La funzione sen(4x) ha periodo 2/4 = /2 mentre la funzione cos(3x) ha periodo 2/3. In base a quanto affermato
nell’osservazione la funzione f(x) ha periodo uguale al minimo comune multiplo dei periodi cioè tra /2 e 2/3.
Riducendo le frazioni allo stesso denominatore : 3/6 e 4/6 si ottiene il minimo comune multiplo che è uguale a 12/6 = 2